Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h,k)

1. La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x (horizontal) , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

Ejemplo 1

Encuentra los elementos de la parábola cuya ecuación es:

  2
Y  - 6Y - 8X + 25 = 0


Solución 1

Como la variable que está al cuadrado es "Y", entonces, la parábola es horizontal. Completando cuadrados tenemos:


  2
Y  - 6Y + 9 - 8X + 16 = 0


  2
Y  - 6Y +9 = 8X - 16

       2       
(Y - 3)  = 8 (X - 2)


Entonces:

Vértice = (2,3)
P = 2
Lado recto = |4p| = 8
Foco = (4,3)
L: X=0



2. La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y (vertical),  vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es: 

Ejemplo 2

Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vértice está en (5,-3) y su foco está en el punto (5,-6)

Solución 2

Como el foco está debajo del vértice, la parábola es vertical y se abre hacia abajo porque es negativo. La directriz coincide con el eje de abscisas.

Datos:

p= -3

Entonces:

     2
(X-5)  = -12 (Y+3)

Parábola con vértice en el origen (0,0)

1. Ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre X (Horizontal)

  2
Y   = 4px
Centro C(0,0)
Es Horizontal
Se abre hacia la derecha (porque es positivo)

  2
Y   = -4px
Centro C(0,0)
Es Horizontal

Se abre hacia la izquierda (porque es negativo)

Observación

Mientras mayor sea el número del parámetro (P), más abierta estará la parábola, pero mientras el número sea menor, más cerrada será la parábola.

Ejemplo 1

Halla la ecuacíón de la parábola con Foco (-3,0) y vértice en el origen.

Solución 1

El eje focal será el eje de abscisas y el parámetro P = -3 es la abscisa del foco.

Datos:

  2
Y   = 4px
p = -3

Entonces:

  2
Y  = 4(-3)x

  2
Y  = -12x



2. Ecuación de la parábola con vertice en el origen y eje focal sobre Y(Vertical)

  2
X   = 4py
Centro C(0,0)
Es Vertical
Se abre hacia arriba (porque es positivo)

  2
X   = -4py
Centro C(0,0)
Es Vertical

Se abre hacia abajo(porque es negativo)

Observación

Mientras mayor sea el número del parámetro (P), más abierta estará la parábola, pero mientras el número sea menor, más cerrada será la parábola.

Ejemplo 2

Halla la ecuacíón de la parábola con Foco (0,5) y directriz L: X+5=0

Solución 2

El eje focal será el eje de ordenadas y el parámetro P es la ordenada del foco.

Datos:

  2
X  = 4py
p = 5

Entonces:

  2
X  = 4(5)y


  2
X  = 20y

La parábola

Definición

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.

Elementos de una parábola

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

1. El foco (F) es un punto siempre fijo. 

2. El vértice (V) de la parábola es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. Es el punto medio del segmento que une la directriz y el foco.

3. La directriz es una recta fija perpendicuar al eje de simetría.

4. La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (P).

5. El eje de la misma es la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

6. Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. Su longitud es siempre 4 veces la distancia focal.

Circunferencia tangente a uno de los ejes

1.- Tangente al eje "x"

Aplicamos esta fórmula

2.- Tangente al eje "y"

Aplicamos la siguiente fórmula

La circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que participan en la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro. 

Además la circunferencia es una curva, cuya importancia se aprecia en algunas ramas de la ciencia. Esta se genera al interceptarse un plano con un cono circular

Existen algunos elementos necesarios en la circunferencia

• Centro (C) : Punto fijo
• Radio (r): distancia constante
• D(P;C)= radio (R)

Hay tres tipos de fórmulas para hallar en la cirfunferencia

1.- ECUACIÓN COMÚN DE LA CIRCUNFERENCIA

Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características geométricas son bien conocidas, supondremos que el centro es el punto C(h;K)o también lo llamaremos C y que el radio es una constante r.

Esta es la fórmula (1)

Ejercicio 01

  

Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

Solución 01

En este caso: 

h = -3

k = 2 

r = 6  

Al sustituir estos valores con la fórmula  de la ecuación común, se obtiene:

2.- ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA

Para resolver la ecuación, se tiene como centro al origen de las coordenadas C(0;0).

Esta es la fórmula (2):

Ejercicio 02

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas:  y.

Solución 02

Al resolver simultáneamente el sistema:

Se obtiene:

 

Ahora, como la circunferencia pasa por el punto (0;0), se tiene que...

Muy bien. ahora ya se tienen todos los elementos necesarios, así que aplicamos la ecuación común, quedandonos...

 

3.- ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Esta es la fórmula:

Ejercicio 03

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4)  y radio 2. 

Solución 03

Primero realizamos la fórmula común:

 

Luego procedemos a resolver...

Finalmente ordenamos y nos queda..

 

Muy Importante!!!!

En la ecuación general de la circunferencia....

• El centro es:

 

• El radio es:

Par Ordenado

Un par ordenado es un conjunto formado por 2 elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es el 1er elemento y cuál es el 2do.

Un par ordenado de componentes X e Y se denota ( X ; Y ), siendo X la 1era componente (Abscisa) e Y la 2da componente (Ordenada)

Suele ser usado para mostrar la posición de una o unas recta(s) en un gráfico (plano cartesiano), donde el valor de X es horizontal  y el valor Y es vertical,

Sistema de Coordenadas Cartesianas

1.- El sistema coordenado Unidimensional

Representado por la recta numérica, que se determina por P( X1 ) y P( X2 ) se tiene:

• 
  
  La Distancia Dirigida del Punto 1 ( X1 ) al Punto 2 ( X2 ) es:

X2 - X1  

• 
  
  La Distancia No Dirigida del Punto 1 ( X1 ) al Punto 2 ( X2 ) es:

| X2 - X1 |

2.- El sistema coordenado Bidimensional:

Un punto en el plano se determina mediante el par ordenado P ( X ; Y )

 

El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas donde:

• La recta horizontal, es decir, el eje X es el de abscisas
• La recta vertical, es decir, el eje Y es el de ordenadas

La intersección de ambas rectas es el origen, es decir, el punto P ( X ; Y )


Las 4 partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman cuadrantes, donde:

• I Cuadrante X ( + ) e Y ( + )
• II Cuadrante X ( - ) e Y ( + )
• III Cuadrante X ( - ) e Y ( - )
• VI Cuadrante X ( + ) e Y ( - )

Distancia entre dos puntos

La distancia entre 2 puntos es la recta que tiene como extremos a los 2 puntos: 

P1 ( X1 ; Y1 ) , P2 ( X1 ; Y1 ) 

La distancia se halla mediante la siguiente fórmula:

Punto Medio de un Segmento

El Punto Medio es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos de la recta, es decir, divide a la recta en 2 partes iguales.


Para ello, se deben tener 2 pares ordenados:
A ( X1 ; Y1 ) , B ( X2 ; Y2 )


Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos:

División de un Segmento en una Razón Dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

La fórmula para aplicar sería:

Cálculo de Áreas en el Plano Cartesiano

Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente fórmula:

Sea A1 , A2 , A3 ,..., An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido antihorario, tiene como coordenadas : 

Entonces el área de la región poligonal correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

De donde :

 


 

Nota: 

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado correspondiente.

Lugar Geométrico

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Distancia de un punto a una recta

Se llama distancia de un punto a una recta al segmento de perpendicular comprendido entre el punto y la recta y cumple las siguientes propiedades:

 

Propiedad 1: La distancia de un punto a una recta es menor a cualquier otro segmento oblicuo comprendido entre ese punto y esa recta.

Propiedad 2: Si dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta tienen sus pies equidistantes del pie de la perpendicular, son congruentes.

Propiedad 3: Dados dos segmentos oblicuos entre un punto y una recta, el menor será aquel cuyo pie se encuentre más próximo al pie de la perpendicular.

Las propiedades recíprocas a las anteriores son:

• 
  Recíproca 1: El menor de los segmentos comprendidos entre un punto y una recta es la distancia del punto a esa recta. 
  
  Recíproca 2: Si dos segmentos comprendidos entre un punto y una recta son iguales, sus pies equidistan de la perpendicular trazada entre ese punto y la recta. 
  
Recíproca 3:Dados dos segmentos oblicuos entro un punto y una recta, si el primero es menor que el segundo, el primer pie estará más cerca del pie de la perpendicular que el segundo pie.

Ángulo de Inclinación

La inclinación de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ángulo menor que la recta forma con la dirección positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Pendiente de una recta

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

Ecuación de la recta

Se puede expresar de dos formas:

1.- Forma Punto Pendiente:

      

Si al recta pasa por los puntos P1 (X1;Y1) y cuya pendiente es "m" entonces la ecuación de la recta está dada por:

   y – y₁ = m(x – x₁)

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2;5) y tiene pendiente 3.

y-5 = 3 (x-2)

y-5 = 3x-6

y = 3x-1

La ecuación explícita de una recta tiene la forma y=mx+n donde m es la pendiente de la recta y n el término independiente. En el siguiente ejercicio te proponemos, que bien conociendo la pendiente m y un punto P por el que pasa determines m y n, o bien conociendo dos puntos determinar m y n. Recuerda que si tienes dos puntos puedes sustituirlos en la ecuación y plantear un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas (m y n). 

2.- Ecuación General:

Donde A y b son números reales, además A y B no pueden ser simultaneamente nulos.

La pendiente es: m = -A/B

La ordenada de la recta: b=-C/B